\subsection{复数的加法与减法}\label{subsec:5-4}

复数的加法规定按照以下的法则进行：设 $z_1 = a + b\,i$，$z_2 = c + d\,i$
是任意两个复数，那么它们的\textbf{和}
$$(a + b\,i) + (c + d\,i) = (a + c) + (b + d)\,i \text{。}$$

很明显，两个复数的和仍然是一个复数。

容易验证，复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 $z_1$，$z_2$，$z_3 \in C$，有
\begin{align*}
    z_1 + z_2 &= z_2 + z_1 \text{，} \\[-1em]
    (z_1 + z_2) + z_3 &= z_1 + (z_2 + z_3) \text{。}
\end{align*}

现在我们来看复数加法的几何意义。

从物理学知道，要求出作用于同一点 $O$、但不在同一直线上的两个力
$\overrightarrow{F1}$ 与 $\overrightarrow{F2}$ 的合力，只要用表示
$\overrightarrow{F1}$ 与 $\overrightarrow{F2}$ 的向量为相邻的两边
画一个平行四边形， 那么，平行四边形中，以力的作用点 $O$ 为起点的那条
对角线所表示的向量就是合力 $\overrightarrow{F}$ （图 \ref{fig:5-5}(1)）。
这个法则通常叫做向量加法的\textbf{平行四边形法则}。

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{minipage}{8cm}
        \centering
        \input{../pic/ds2-ch5-5-5-1}
        \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \quad
    \begin{minipage}{8cm}
        \centering
        \input{../pic/ds2-ch5-5-5-2}
        \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:5-5}
\end{figure}


复数用向量来表示，如果与这些复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法就可以按照向量
加法的平行四边形法则来进行。下面我们来证明这个事实。

设 $\overrightarrow{OZ_1}$ 及 $\overrightarrow{OZ_2}$ 分别与复数 $a + b\,i$ 及 $c + d\,i$ 对应，
且 $\overrightarrow{OZ_1}$ ，$\overrightarrow{OZ_2}$ 不在同一直线上（图 \ref{fig:5-5}(2)）。
以 $\overrightarrow{OZ_1}$ 及 $\overrightarrow{OZ_2}$ 为两条邻边画平行四边形 $OZ_1ZZ_2$，
画 $x$ 轴的垂线 $PZ_1$，$QZ_2$ 及 $RZ$，并且画 $Z_1S \perp RZ$，容易证明
$$ \triangle ZZ_1S \quandeng \triangle Z_2OQ \text{，}$$ %$$ \triangle ZZ_1S \cong \triangle Z_2OQ \text{，}$$
并且四边形 $Z_1PRS$ 是矩形，因此
\begin{align*}
    OR &= OP + PR = OP + Z_1S = OP + OQ = a + c, \\[-1em]
    RZ &= RS + SZ = PZ_1 + QZ_2 = b + d \text{。}
\end{align*}

于是，点 $Z$ 的坐标是 $(a + c,\; b + d)$，这说明 $\overrightarrow{OZ}$ 就是与
复数 $(a + c) + (b + d)\,i$ 对应的向量。

由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对应的
向量 $\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，
如果 $\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$ 不在同一直线上，
再以这两个向量为两条邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线 $OZ$
所表示的向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应的复数，就是所求两个复数的和。

如果 $\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$ 在同一直线上，
我们可以画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示
$\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$ 的和。

总之，复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这是复数加法的几何意义。

下面再来看复数的减法。

复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足
$$ (c + d\,i) + (x + y\,i) = a + b\,i $$
的复数 $x + y\,i$，叫做复数 $a + b\,i$ 减去 $c + d\,i$
的\textbf{差}，记作 $(a + b\,i) - (c + d\,i)$。根据复数相等的定义，有
$$ c + x = a,\quad d + y = b, $$
由此
$$ x = a - c,\quad y = b - d, $$
所以
$$ x + y\,i = (a - c) + (b - d)\,i, $$
即
$$ (a + b\,i) - (c + d\,i) = (a - c) + (b - d)\,i, $$
这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个唯一确定的复数。

现设 $\overrightarrow{OZ}$ 与复数 $a + b\,i$ 对应，
$\overrightarrow{OZ_1}$ 与复数 $c + d\,i$ 对应（图 \ref{fig:5-6}）。
以 $\overrightarrow{OZ}$ 为一条对角线， $\overrightarrow{OZ_1}$ 为一条边
画平行四边形， 那么这个平行四边形的另一边 $OZ_2$ 所表示的向量 $\overrightarrow{OZ_2}$
就与复数 $(a - c) + (b - d)\,i$ 对应。 因为 $Z_1Z \pxdy OZ_2$，
所以向量 $\overrightarrow{Z_1Z}$ 也与这个差对应。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-5-6}
    \caption{}\label{fig:5-6}
\end{figure}


这就是说，两个复数的差 $z - z_1$（即 $\overrightarrow{OZ} - \overrightarrow{OZ_1}$）
与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。这是复数减法的几何意义。

由上所述，我们可以看出， 复数的加（减）法与多项式的加（减）法是类似的，
就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即

\begin{center}
    \framebox{\begin{minipage}{20em}
        \begin{gather*}
            (a + b\,i) \pm (c + d\,i) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i \text{。}
        \end{gather*}
    \end{minipage}}
\end{center}


\liti 计算 $(5-6\,i) + (-2-i) - (3+4\,i)$。

\jie \quad $\begin{aligned}[t]
       & (5-6\,i) + (-2-i) - (3+4\,i) \\[-1em]
    ={}& (5 - 2 - 3) + (-6 - 1 - 4)\,i \\[-1em]
    ={}& -11\,i \text{。}
\end{aligned}$



\begin{minipage}{\textwidth} % 本页有两个 wrapfigure ，直接使用会报错，所以将其中一个封装在 minipage 中
\begin{wrapfigure}[22]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-5-7}
    \caption{}\label{fig:5-7}
\end{wrapfigure}
\liti 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式。

\jie 如图 \ref{fig:5-7} ，设复平面内的任意两点 $Z_1$，$Z_2$ 分别表示复数
$z_1 = x_1 + y_1\,i$，$z_2 = x_2 + y_2\,i$ 出那么 $\overrightarrow{Z_1Z_2}$ 就是与复数 $z_2 - z_1$
对应的向量。如果用 $d$ 表示点 $Z_1$，$Z_2$ 之间的距离， 那么 $d$ 就是向量
$\overrightarrow{Z_1Z_2}$ 的模，即复数 $z_2 - z_1$ 的模，所以
$$ d = |z_2 - z_1| \text{。} $$
这就是复平面内两点间的距离公式。而
\begin{align*}
    d = |z_2 - z_1| &= |(x_2 + y_2\,i) - (x_1 + y_1\,i)| \\
        &= |(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)\,i| \\
        &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \text{。}
\end{align*}

这与我们以前导出的两点间的距离公式一致。
\end{minipage}


\begin{wrapfigure}[22]{r}{5cm}
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-5-8}
    \caption{}\label{fig:5-8}
\end{wrapfigure}
\liti 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内的圆的方程。

\jie 如图 \ref{fig:5-8}，设圆心为 $P$，点 $P$ 与复数 $p = a + b\,i$ 对应，
圆的半径为 $r$，圆上任意一点 $Z$ 与复数 $z = x + y\,i$ 对应，那么
$$ |z - p| = r \text{。} $$

这就是复平面内的圆的方程。特别地，当点 $P$ 在原点时，圆的方程就成了 $|z| = r$。

请同学们利用复数的减法法则，把圆的方程 $|z - p| = r$ 化成用实数表示的一般形式
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \text{。} $$


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{证明复数的加法满足交换律与结合律。}

\xiaoti{分别用代数及几何方法计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.2}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$(4+5\,i) + (2+3\,i)$；} & \xiaoxiaoti{$(2+4\,i) + (3-4\,i)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$(-3-4\,i) + (-2+i)$；} & \xiaoxiaoti{$-5\,i + (-i-1)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}



\xiaoti{分别用代数及几何方法计算：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \renewcommand\arraystretch{1.2}
    \begin{tabular}[t]{*{2}{@{}p{16em}}}
        \xiaoxiaoti{$(4+5\,i) - (3+2\,i)$；} & \xiaoxiaoti{$(-3+2\,i) - (4-5\,i)$；} \\
        \xiaoxiaoti{$(6-3\,i) - (-3\,i-2)$；} & \xiaoxiaoti{$5 - (3+2\,i)$。}
    \end{tabular}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{设 $z = a + b\,i$，求 $z + \bar{z}$ 与 $z - \bar{z}$。}


\xiaoti{\begin{minipage}[t]{0.9\textwidth}
    设复平面内的定点 $P$ 与复数 $p = a + b\,i$ 对应，动点 $Z$ 与复数 $z = x + y\,i$ 对应，
    $\varepsilon \in R^+$，满足不等式
        $$ |z - p| < \varepsilon $$
    的点 $Z$ 的集合是什么图形？
\end{minipage}}

\end{xiaotis}

